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数量关系之几何构造类

1、在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边。图中P为一棵直径为1米的树，其与墙CD、AD的最短距离分别是14米和5米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平方米？

A、187

B、192

C、195

D、196

2、有一个规格为10m×8m×6m的集装箱，用来装体积为36立方米且边长都为整数的长方体箱子，已知该箱子的底面是正方形，那么该集装箱最多可以装多少个箱子？

A、6

B、8

C、12

D、13

3、一间房屋的长、宽、高分别是6米、4米和3米，施工队员在房屋内表面上画一条封闭的线，其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状大小完全相同的部分，问其所画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米？

A、6

B、6（）

C、8

D、4（）

4、妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20cm，高为60cm的圆锥形生日帽内藏了一个圆柱形礼物盒。为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面积最大为多少？

A、600πcm²

B、640πcm²

C、800πcm²

D、1200πcm²

5、为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头，问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到？

A、4

B、7

C、6

D、9

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类，用最值理论解题。
第二步，四边形周长固定，越接近于正方形，面积越大，即让矩形ABCD的长与宽越接近越好。树到CD边的最短距离为垂线距离，是14米，树的直径为1米，那么矩形的长AD至少为14＋1＝15（米）；树到AD边的最短距离为垂线距离，是5米，树的直径为1米，那么矩形的宽CD至少为5＋1＝6（米）。
第三步，长与宽越接近，面积越大，因为绳子的长度为28米，那么让长为15米，宽最大为13米，此时矩形面积最大，面积为15×13＝195（平方米）。
因此，选择C选项。

2、

第一步，本题考查几何构造问题。
第二步，底面为正方形的长方体箱子有以下几种可能：
（1）箱子的底面是边长为1m的正方形，高度为36m，那么1个都装不进去；
（2）箱子的底面是边长为2m的正方形，高度为9m，那么以8m×6m为集装箱底面，装底面为2m×2m的箱子，最多能放4×3×1＝12（个）箱子；
（3）箱子的底面是边长为3m的正方形，高度为4m，那么以10m×6m为集装箱底面，装底面为3m×3m的箱子，最多能放3×2×2＝12（个）箱子。
（4）箱子的底面是边长为6m的正方形，高度为1m，那么以8m×6m为集装箱底面，装底面为6m×6m的箱子，最多能放1×1×10=10（个）箱子。
第三步，最多能放12个箱子。
因此，选择C选项。

3、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类。
第二步，如图所示：

根据所画线将房屋分为2个相同的部分，可知最短距离为矩形EFGH的周长，即2×（3＋4）＝14（米）。最长距离为矩形ABCD的周长，即（米）。
第三步，最长距离和最短距离之间的差是22－14＝8（米）。
因此，选择C选项。

4、

第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。

第二步，如右剖面图所示，设圆柱的底面半径OG为r，高EG为h，△CGE∽△COA，故＝，＝，得到h＝60－3r。
第三步，圆柱侧面积S＝2πrh＝2πr（60－3r），整理为S＝－6π＋600π，当r＝10cm时，侧面积S＝0＋600π＝600π最大。
因此，选择A选项。

5、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类，用构造法解题。
第二步，由于每个喷头所覆盖的圆的直径与花坛半径相等，均为10米，故至多可覆盖圆心角为60°所对应的弧长，当喷头以花坛的内接正六边形各边中点为圆心时，仅需要360°÷60°＝6（个）喷头即可覆盖花坛的整个圆周。
第三步，对于花坛的中心区域还需1个喷头覆盖（如图所示），故至少需要布置6＋1＝7（个）喷头。

因此，选择B选项。

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