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数量关系之数列构造

1、有4支队伍进行4项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5，3，2，1分。每队的4项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且A队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？

A、7

B、8

C、9

D、10

2、兄弟五人年龄均不相等。已知今年五个人的平均年龄为50岁，较年长的三个人平均年龄为55岁，较年轻的三个人平均年龄为44岁。问大哥今年至少多少岁？

A、57

B、58

C、59

D、60

3、有30名学生，参加一次满分为100分的考试，每位学生的成绩均为整数，已知该次考试的平均分是85分，问不及格（小于60分）的学生最多有几人？

A、9人

B、10人

C、11人

D、12人

4、为增强职工的锻炼意识，某单位举行了踢毽子比赛，比赛时长为1分钟。参加比赛的职工平均每人踢了76个，已知每人至少踢了70个，并且其中一人88个，如果不把该职工计算在内，那么平均每人踢了74个。则踢得最快的职工最多踢了多少个？

A、88

B、90

C、92

D、94

5、某销售小组共有7人，小红是其中一员，她发现自己的业绩排名第二且不和任何人并列，该小组业绩总额为105万元，该组组员的业绩均为整数万元且业绩最高的比最低的多4万元，那么小红的业绩至少是多少万元？

A、16

B、15

C、14

D、13

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查最值问题，属于数列构造，用构造法解题。
第二步，要保证总分最少的队伍得分最多，则其他队伍得分尽可能少，构造A队第四项比赛得1分，总分为3×5＋1＝16。由于四项比赛总分为4×（5＋3＋2＋1）＝44，可知其他3队的总分为44－16＝28。
第三步，设总分最少的队伍最多得x分，由各队总分不相同可知，其他2队得分分别为x＋1、x＋2，可得x＋x＋1＋x＋2＝28，解得x≈8.3，即最多得8分。
因此，选择B选项。

2、

第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。
第二步，根据五人的平均年龄为50岁，可知五人的年龄和为50×5＝250（岁）；同理，较年轻三人的年龄和为44×3＝132（岁），故较年长两人的年龄和为250－132＝118（岁）。
第三步，由于年龄均不相等，故大哥今年至少为（岁）。
因此，选择D选项。

3、

解法一：
第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。
第二步，要使不及格人数最多，则及格人数最少，使及格的人分数都为100、不及格的人分数都为59。
设不及格人数为x，根据平均分为85，可得：100×（30－x）＋59x＝85×30，解得x≈10.98，不及格的学生最多有10人。
因此，选择B选项。
解法二：
第一步，本题考查最值问题，属于数列构造。
第二步，若30人都满分，总分为100×30＝3000分，实际总分为85×30＝2550（分），少450分为不及格所扣的总分。要使不及格人数最多，则每人所扣的分数最少，即100－59＝41（分），则不及格有450÷41≈10.98（人），不及格的学生最多有10人。
因此，选择B选项。

4、

第一步，本题考查最值问题，属于数列构造，用方程法解题。
第二步，设职工共有x人，则有76x＝74（x－1）＋88，解得x＝7，共踢了76×7＝532（个）。
第三步，若要踢得最快的职工踢得最多，则其他职工踢得尽可能少。设最快的职工最多可以踢y个，除去踢88个的那名员工，其他5名员工尽可能少，均为70个，则有532＝y＋88＋70×5，解得y＝94＞88。
因此，选择D选项。

5、

第一步，本题考查最值问题中的数列构造问题。
第二步，设小红的业绩为x万元，要想使小红业绩尽可能少，则要构造其余人业绩尽可能多，题干中说小红不与任何人并列，但是第三名及之后名次的可以相同，每个人的业绩如下表：

可列方程：（x＋3）＋x＋（x－1）＋（x－1）＋（x－1）＋（x－1）＋（x－1）＝105，解得x＝，那么业绩至少为16万元。
因此，选择A选项。

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