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数量关系之几何构造类

1、为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头，问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到？

A、4

B、7

C、6

D、9

2、一个周长为16厘米的正方形剪纸中，剪掉两个半径相等的圆，那么这两个圆的半径最大为多少厘米？

A、1

B、4－2

C、

D、2

3、下图为某市一段地下水管道的分布图，箭线表示管道中水的流向，数值表示箭线的长度（单位：千米）。水从S点流到T点最短的距离是：

A、20千米

B、22千米

C、23千米

D、24千米

4、在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边。图中P为一棵直径为1米的树，其与墙CD、AD的最短距离分别是14米和5米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平方米？

A、187

B、192

C、195

D、196

5、若干个相同的立方体摆在一起，前、后、左、右的视图都是“凸”，问这堆立方体最少有多少个？

A、4

B、6

C、10

D、8

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类，用构造法解题。
第二步，由于每个喷头所覆盖的圆的直径与花坛半径相等，均为10米，故至多可覆盖圆心角为60°所对应的弧长，当喷头以花坛的内接正六边形各边中点为圆心时，仅需要360°÷60°＝6（个）喷头即可覆盖花坛的整个圆周。
第三步，对于花坛的中心区域还需1个喷头覆盖（如图所示），故至少需要布置6＋1＝7（个）喷头。

因此，选择B选项。

2、

第一步，本题考查几何问题。
第二步，当两个圆的圆心位于对角线上且两个圆相切时半径最大，设此时圆的半径为r厘米，那么圆心到正方形端点的距离为r厘米。正方形周长为16厘米，则正方形的边长为4厘米，那么正方形的对角线为4厘米，可列方程：（r＋r）×2＝4，解得r＝4－2。

因此，选择B选项。

3、

第一步，本题考查几何构造问题。
第二步,根据图中线段长度可知，从S到T最短线路是先从S到N最短是5＋1＝6（千米），再从N到T最短是8＋8＝16（千米），故最短距离是6＋16＝22（千米）。

因此，选择B选项。

4、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类，用最值理论解题。
第二步，四边形周长固定，越接近于正方形，面积越大，即让矩形ABCD的长与宽越接近越好。树到CD边的最短距离为垂线距离，是14米，树的直径为1米，那么矩形的长AD至少为14＋1＝15（米）；树到AD边的最短距离为垂线距离，是5米，树的直径为1米，那么矩形的宽CD至少为5＋1＝6（米）。
第三步，长与宽越接近，面积越大，因为绳子的长度为28米，那么让长为15米，宽最大为13米，此时矩形面积最大，面积为15×13＝195（平方米）。
因此，选择C选项。

5、

第一步，本题考查几何问题，属于几何构造类，用构造法解题。
第二步，如图所示，在九宫格的对角线上放置3个立方体，再在中心立方体的上方放置1个立方体，即可满足都是凸型且所需立方体数目最少，故最少有4个。
       
因此，选择A选项。

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