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数量关系之三集合容斥类

1、某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：

A、7人

B、8人

C、5人

D、6人

2、某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共有139人，有42人报名参加第一场讲座，51人报名参加第二场讲座，88人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参加两场讲座的有30人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？

A、12

B、14

C、24

D、28

3、某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?

A、14

B、21

C、23

D、32

4、某出版社新招了10名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英文又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这10人中，会法文的比会英文的多4人，是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？

A、2

B、0

C、3

D、1

5、元宵节公司举办猜灯谜吃汤圆活动，猜对第一条灯谜的有15人，猜对第二条灯谜的有12人，猜对第三条灯谜的仅为6人，猜对两条灯谜的为11人，三条灯谜全部猜对的占总人数的1/10，一条也没猜对的人数也占总人数的1/10，则参与此次活动的总人数为（   ）人。

A、33

B、30

C、22

D、20

【参考答案及解析】

1、

第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。
第二步，设同时报乙、丙职位的人数为x，由至多可报考两个职位可知，同时报考三个职位的人数为0。根据三集合容斥标准公式，可得42＝22＋16＋25－8－6－x＋0，解得x＝7（可使用尾数法）。
因此，选择A选项。

2、

第一步，本题考查容斥原理，用公式法解题。
第二步，设没有报名参加其中任何一场讲座的有x人。根据三集合非标准型容斥原理公式，可列方程42＋51＋88－30－2×12＝139－x，解得x＝12。（或者使用尾数法解题）
因此，选择A选项。

3、

第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。用公式法解题。
第二步，设三项全部合格的食品有x种，根据三集合非标准公式（总体I＝条件A＋条件B＋条件C－只满足两个条件－2×满足三个条件＋都不满足条件）有36＝7＋9＋6－5－2×2＋x，解得x＝23。
因此，选择C选项。

4、

解法一：
第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用方程法解题。
第二步，设会日文的有x人，则会法文的有2x人，会英文的有（2x－4）人，由于小李既会英文也会日文，被统计两次，故10人统计了11人次。
第三步，根据人次总数，得方程11＝x＋2x＋2x－4，解得x＝3，则会英文的人为2x－4＝2（人），因小李既会英文又会日文，所以只会英文的只有2－1＝1（人），
因此，选择D选项。
解法二：
第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用代入排除法解题。
第二步，由“会法文的比会英文的多4人，是会日文人数的两倍”可知法文人数为偶数，进而英文人数也为偶数，除去小李（同时会英文与日文）一人，剩下的为只会英文的人数，易知其为奇数，排除A、B；代入C，如果只会英文的人数为3，会英文为4、法文为8，则总人数大于10，不符，排除C；选D。
因此，选择D选项。

5、

第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。
第二步，设总人数为x，根据三集合非标准型公式可得，15＋12＋6－11－2×0.1x＝x－0.1x，解得x＝20。
因此，选择D选项。

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