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数量关系之最值问题

1、梅子黄和朋友出去吃火锅，7个人点的有肉有菜共17盘，已知每盘肉35元，每盘菜12元，其余均不收费。结账的时候，服务员看梅子黄长得好看，打了8折，最终人均消费60多元，请问一共最多点了几盘菜？

A、2

B、3

C、4

D、没点菜

2、去年某工厂加工一批特制的机械零件，今年由于改善了生产环境和改进了生产工艺，机械零件的价格比去年提高50%，若去年和今年的总销售额分别是50万和30万，则今年销售的机械零件最少比去年销售的机械零件少多少个？

A、2

B、3

C、6

D、15

3、健身房有大众健身操、有氧舞蹈、搏击健美操、动感单车、健身球、瑜伽几种项目可以报名，若每人至少报其中2项。则至少有多少人报名才能保证其中有5人报的项目完全相同？

A、229

B、239

C、249

D、259

4、某次招聘有60人通过笔试进入面试。面试的结果出来后只有3人成绩低于85分（满分为100分且每人成绩为整数），那么至少有多少人成绩相同？

A、1

B、2

C、3

D、4

5、某公司有60多名员工，现已知员工人数刚好是3个不同质数的乘积，问如果分成人数各不相同的五个小组，问人数最多的小组和最少的小组人数差最大是多少？

A、58

B、57

C、56

D、55

【参考答案及解析】

1、

       第一步，分析题干可知，本题考查数列构造问题。
       第二步，打八折后人均消费60多，则未打折前平均每人至少花费60/0.8=75（元），一共七个人，故总共至少花了75×7=525元。
       第三步，代入排除，问最多，从C选项4开始代入，4盘菜，13盘肉，共花4×12+13×35=48+455=503，不足525元；代入B选项3，3盘菜，14盘肉，共花3×12+14×35=36+490=526，超过525元。那么最多一共点了3盘菜。
       因此，选择B选项。

2、

       第一步，本题考查最值问题。
       第二步，设去年机械零件的价格为x，今年机械零件的价格是1.5x，由题意可列式-，想要去年销售的零件数与今年销售的零件数相差最少，除了保证二者差值最小外，还需要满足x和1.5x分别是50和30的约数，即x可以取值1、2、5、10，代入式子可得两者差值分别为30、15、6、3，故今年销售的机械零件数最少比去年少3个。
       因此，选择B选项。

3、

第一步，本题考查最值问题中最不利构造问题。
第二步，每个人的报名方式一共有＝15＋20＋15＋6＋1＝57（种），最不利情况为每种报名方式有4人，则最终结果＝最不利情况＋1＝57×4＋1＝229。
因此，选择A选项。

4、

第一步，本题考查最值问题，属于最不利构造。
第二步，从85到100分共有16个分值，这16个分值由60－3=57（人）获得。最不利情况是尽可能平均分布，57÷16=3……9，意味着这16个分值每个都有三人获得，但仍有9人分布在86—100分这个区间。9个人再平均分布，那么相同成绩的人数至少有3+1=4。
因此，选择D选项。

5、

第一步，本题考查最值问题。
第二步，公司有60多名员工，且员工人数刚好是3个不同质数的乘积，那么分解因式可知，满足这两个条件的只有66=2×3×11。
第三步，要使人数最多的小组和最少的小组人数差最大，那么构造最大的小组人数最多，其余四个小组人数最少，分别是1、2、3、4人，则人数最多的组人数为66-（1+2+3+4）=56（人），则人数差最大是56-1=55（人）。
因此，选择D选项。

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